# 深度学习之《深度学习入门》学习笔记（三）神经网络

> 作者：zning（https://ning.ae） · 发布：2019/08/12 21:46 下午 (UTC+8) · 原文：https://zning.me/15656175642754.html

最近学习吴恩达《Machine Learning》课程以及《深度学习入门：基于Python的理论与实现》书，一些东西总结了下。现就后者学习进行笔记总结。本文是本书的学习笔记（三）神经网络。

* [深度学习之《深度学习入门》学习笔记（一）Python入门](./15656172902685.html)

* [深度学习之《深度学习入门》学习笔记（二）感知机](./15656174993229.html)

* [深度学习之《深度学习入门》学习笔记（三）神经网络](./15656175642754.html)

* [深度学习之《深度学习入门》学习笔记（四）神经网络的学习](./15691207315042.html)

感知机优缺点：

1. 即便对于复杂的函数，感知机也隐含着能够表示它的可能性。
2. 但设定权重的工作，即确定合适的、能符合预期的输入与输出的权重，现在还是由人工进行的。

而神经网络的出现就是为了解决上面设定权重工作的缺点的。神经网络的可以自动地从数据中学习到合适的权重参数。

## 激活函数

将输入信号的总和转换为输出信号，这种函数一般称为**激活函数**。激活函数决定如何来激活输入信号的总和。激活函数是连接感知机和神经网络的桥梁。

感知机中使用了阶跃函数（一旦输入超过阈值，就切换输出的函数）作为激活函数。

### sigmoid函数

$$h(x)=\frac{1}{1+exp(-x)}$$

```python
import numpy as np
import matplotlib.pylab as plt
#实现简单的阶跃函数
def step_function0(x):
    if x > 0:
        return 1
    else:
        return 0

def step_function1(x):
    y = x >0
    return y.astype(np.int)

def step_function(x):
    return np.array(x > 0, dtype=np.int)

x = np.arange(-5.0, 5.0, 0.1)
y = step_function(x)
plt.plot(x, y)
plt.ylim(-0.1, 1.1) # 指定y轴的范围
plt.show()
```

> ![output_56_0](media/15656175642754/output_56_0.png)

```python
#sigmoid函数
def sigmoid(x):
    return 1 / (1 + np.exp(-x))

yy = sigmoid(x)
plt.plot(x,yy)
plt.ylim(-0.1,1.1)
plt.show()
```

> ![output_57_0](media/15656175642754/output_57_0.png)

```python
plt.plot(x,y,linestyle = "--",label="step")
plt.plot(x,yy,label="sigmoid")
plt.show()
```

> ![output_58_0](media/15656175642754/output_58_0.png)

可以看出，感知机中神经元之间流动的是0或1的二元信号，而神经网络中流动的是连续的实数值信号。

简单总结如下：

1. sigmoid函数具有平滑性。
2. 两个函数结构均是“输入小时，输出接近0或为0，随着输入增大，输出趋向于1或变为1”，也就是说，当输入信号为重要信息时，阶跃函数和sigmoid函数都会输出较大的值；当输入信号为不重要的信息时，两者都输出较小的值。
3. 不管输入信号多大多小，输出信号值范围在0-1之间。
4. 两者均为非线性函数。

**神经网络的激活函数必须使用非线性函数。**若使用线性函数，加神经网络是没有意义的。线性函数的问题是不管如何加深层数，总是存在与之等效的“无隐藏层的神经网络”。

举例：若将线性函数$h(x)=cx$作为激活函数，把$y(x)=h(h(h(x)))$的运算对应3层神经网络，这个运算会进行$y(x)=c\times c\times c\times x$的乘法运算，但是同样的处理可以由$y(x)=ax$这一次的乘法运算（即没有隐藏层的神经网络）来表示。注意这里$a=c^{3}$。

### ReLU函数

在神经网络的发展史上，sigmoid函数很早就开始使用了，而最近则主要使用ReLU(Rectified Linear Unit)函数。

ReLU函数是一个非常简单的函数。ReLU函数在输入大于0时，直接输出该值；在输入小于0时，输出0。ReLU函数可以表示为下面的式子：

$$
h(x)=\begin{cases}
x&(x>0) \\ 0&(x\leq 0)
\end{cases}
$$

```python
#ReLU函数实现
def relu(x):
    return np.maximum(0,x)

y3 = relu(x)
plt.plot(x,y3)
plt.show()
```

> ![output_60_0](media/15656175642754/output_60_0.png)

## 多维数组的运算

```python
# 一维数组
import numpy as np
A = np.array([1, 2, 3, 4])
print(A)
```

> [1 2 3 4]

```python
np.ndim(A)#获取数组维数
```

> 1

```python
A.shape#获取数组的形状
```

> (4,)

```python
A.shape[0]#其结果是个元组（tuple）
```

> 4

```python
# 二维数组,也是矩阵
B = np.array([[1,2], [3,4], [5,6]])
print(B)
```

> [[1 2]
>  [3 4]
>  [5 6]]

```python
np.ndim(B)
```

> 2

```python
B.shape
```

> (3, 2)

```python
# 矩阵乘法
C = np.array([[1,2],[3,4]])
C.shape
```

> (2, 2)

```python
D = np.array([[5,6],[7,8]])
D.shape
```

> (2, 2)

```python
np.dot(C,D)#乘积为点积
```

> array([[19, 22],
>        [43, 50]])

```python
np.dot(D,C)#绝大部分矩阵不满足乘法交换律
```

> array([[23, 34],
>        [31, 46]])

### 神经网络的内积

使用NumPy矩阵实现神经网络。

```python
# 使用NumPy矩阵实现神经网络
X=np.array([1,2])
X.shape
```

> (2,)

```python
W=np.array([[1,3,5],[2,4,6]])
print(W)
```

> [[1 3 5]
>  [2 4 6]]

```python
W.shape
```

>  (2, 3)

```python
YY=np.dot(X,W)
print(YY)
```

> [ 5 11 17]

## 3层神经网络的实现

神经网络的运算可以作为矩阵运算打包进行。

任何前一层的偏置神经元“1”都只有一个。偏置权重的数量取决于后一层的神经元的数量（不包括后一层的偏置神经元“1”）。

```python
# 多维数组实现A(1)=XW(1)+B
# 输入层到第1层的信号传递
X=np.array([1.0, 0.5])
W1=np.array([[0.1,0.3,0.5],[0.2,0.4,0.6]])
B1=np.array([0.1,0.2,0.3])

print(W1.shape)
print(X.shape)
print(B1.shape)
```

> (2, 3)
> (2,)
> (3,)

```python
A1=np.dot(X,W1)+B1
#观察第1层中激活函数的计算过程,激活函数使用sigmoid
Z1=sigmoid(A1)
print(A1)
print(Z1)
```

> [0.3 0.7 1.1]
> [0.57444252 0.66818777 0.75026011]

```python
#第1层到第2层的信号传递
W2=np.array([[0.1,0.4],[0.2,0.5],[0.3,0.6]])
B2=np.array([0.1,0.2])

print(Z1.shape)
print(W2.shape)
print(B2.shape)
A2=np.dot(Z1,W2) + B2
Z2=sigmoid(A2)
```

> (3,)
> (3, 2)
> (2,)

```python
#第2层到输出层的信号传递
#定义输出层的激活函数为恒等函数
def identity_function(x):
    return x

W3=np.array([[0.1,0.3],[0.2,0.4]])
B3=np.array([0.1,0.2])
A3=np.dot(Z2,W3)+B3
Y=identity_function(A3)
print(Y)
```

> [0.31682708 0.69627909]

输出层所用的激活函数，要根据求解问题的性质决定。一般地，回归问题可以使用恒等函数，二元分类问题可以使用sigmoid函数，多元分类问题可以使用softmax函数。

### 代码实现小结

```python
# 3层网络实现案例，把权重记为大写字母W1，其他的偏置或中间结果等用小写字母表示
def init_network():
    network = {}
    network['W1'] = np.array([[0.1,0.3,0.5],[0.2,0.4,0.6]])
    network['b1'] = np.array([0.1,0.2,0.3])
    network['W2'] = np.array([[0.1,0.4],[0.2,0.5],[0.3,0.6]])
    network['b2'] = np.array([0.1, 0.2])
    network['W3'] = np.array([[0.1,0.3],[0.2,0.4]])
    network['b3'] = np.array([0.1,0.2])
    
    return network

def forward(network, x):
    W1, W2, W3 = network['W1'], network['W2'], network['W3']
    b1, b2, b3 = network['b1'], network['b2'], network['b3']
    
    a1 = np.dot(x, W1) + b1
    z1 = sigmoid(a1)
    a2 = np.dot(z1, W2) + b2
    z2 = sigmoid(a2)
    a3 = np.dot(z2, W3) + b3
    y = identity_function(a3)
    
    return y

network = init_network()
x = np.array([1.0, 0.5])
y = forward(network, x)
print(y)
```

> [0.31682708 0.69627909]

这里定义了`init_network()`和`forward()`函数。`init_network()`函数会进行权重和偏置的初始化，并将它们保存在字典变量`network`中。这个字典变量中保存了每一层所需的参数(权重和偏置)。`forward()`函数中则封装了将输入信号转换为输出信号的处理过程。

## 输出层的设计

神经网络可以用在分类问题和回归问题上，不过需要根据情况改变输出层的激活函数。一般而言，**回归问题用恒等函数，分类问题用softrmax函数**。

### 恒等函数和softmax函数

恒等函数会讲输入按原样输出，对于输入的信息，不加以任何改动地直接输出。

分类问题中使用的softmax函数可以用下面式子表示：

$$y_{k}=\frac{exp(a_{k})}{\sum_{i=1}^{n}exp(a_{i})}$$

$exp(x)=e^x$。上式表示假设输出层共有$m$个神经元，计算第$k$个神经元的输出$y_{k}$。softmax函数的分子是输入信号$a_{k}$的指数函数，分母是所有输入信号的指数函数的和。

从式中可看出，输出层的各个神经元都受到所有输入信号的影响。

实现softmax函数：

```python
#实现softmax函数
a = np.array([0.3, 2.9, 4.0])
exp_a = np.exp(a) #指数函数
print(exp_a)
sum_exp_a = np.sum(exp_a) #指数函数的和
print(sum_exp_a)
y = exp_a / sum_exp_a
print(y)
```

    [ 1.34985881 18.17414537 54.59815003]
    74.1221542101633
    [0.01821127 0.24519181 0.73659691]

```python
# 定义softmax函数。供以后使用(初始版)
def softmax1(a):
    exp_a = np.exp(a)
    sum_exp_a = np.sum(exp_a)
    y = exp_a / sum_exp_a
    
    return y
```

### 实现softmax函数时的注意事项

softmax实现需要注意溢出问题，因为softmax函数内有$exp(x)$的指数运算，会使数值变得很大。因此，softmax函数的实现可以按如下式改进：

$$
y_{k}=\frac{exp(a_{k})}{\sum_{i=1}^{n}exp(a_{i})}=\frac{C exp(a_{k})}{C \sum_{i=1}^{n}exp(a_{i})}=\frac{exp(a_{k}+log C)}{\sum_{i=1}^{n}exp(a_{i}+log C)}=\frac{exp(a_{k}+C^{'})}{\sum_{i=1}^{n}exp(a_{i}+C^{'})}
$$

在进行softmax的指数函数的运算时，加上或者减去某个常数并不会改变开运算的结果。这里的$C^{'}$可以使用任何值，但是为了防止溢出，一般会使用输入信号中的最大值。如下例：

```python
# 演示计算溢出情况与解决
a = np.array([1010, 1000, 990])
np.exp(a) / np.sum(np.exp(a)) #softmax,并未正确被计算，报错
```

> /opt/conda/lib/python3.6/site-packages/ipykernel_launcher.py:3: RuntimeWarning: overflow encountered in exp
>   This is separate from the ipykernel package so we can avoid doing imports until
> /opt/conda/lib/python3.6/site-packages/ipykernel_launcher.py:3: RuntimeWarning: invalid value encountered in true_divide
>   This is separate from the ipykernel package so we can avoid doing imports until

> array([nan, nan, nan])

```python
c = np.max(a) #1010
a - c
np.exp(a - c) / np.sum(np.exp(a - c))
```

> array([9.99954600e-01, 4.53978686e-05, 2.06106005e-09])

```python
# 定义softmax函数。供以后使用(正式用版)
def softmax(a):
    c = np.max(a)
    exp_a = np.exp(a - c)#溢出对策
    sum_exp_a = np.sum(exp_a)
    y = exp_a / sum_exp_a
    
    return y
```

### softmax函数的特征

softmax函数的输出是0.0到1.0之间的实数。并且，softmax函数的输出值的总和是1.输出总和为1是softmax函数的一个重要特质，这个特质让softmax函数的输出解释为“概率”。**通过softmax函数，我们可以用概率的（统计的）方法处理问题。**

```python
# 可解释为“概率”的softmax函数
a = np.array([0.3, 2.9, 4.0])
y = softmax(a)
print(y)
np.sum(y)
```

> [0.01821127 0.24519181 0.73659691]

> 1.0

上例中，从概率的结果来看，可以说“因为第2个元素的概率最高，所以答案是第2个类别”。而且，还可以回答“74%的概率是第2个类别，有25%的概率是第1个类别，有1%的概率是第0个类别”。

这里需要注意，即使使用了softmax函数，各个元素之间的大小关系也不会改变。这是因为指数函数是单调递增函数。

一般而言，神经网络只把输出值最大的神经元所对应的类别作为识别结果。并且，即使使用softmax函数，输出值最大的神经元的位置也不会改变。因此，神经网络在进行分类时，输出层的softmax函数可以省略。在实际问题中，由于指数函数的运算需要一定的计算机运算量，因此输出层的softmax函数一般会直接省略。

求解机器学习问题的步骤可以分为“学习”和“推理”两个阶段。首先，在学习阶段进行模型的学习（指使用训练数据、自动调整参数的过程），然后，在推理阶段，用学到的模型对未知的数据进行推理（分类）。如前所述，推理阶段一般会省略输出层的softmax函数。在输出层使用softmax函数是因为它和神经网络的学习有关系。

### 输出层的神经元数量

输出层的神经元数量需要根据待解决的问题来决定。对于分类问题，输出层的神经元数量一般设定为类别的数量。

## 手写数字识别

求解机器学习问题的步骤粉尘搞学习和推理两个阶段进行，和其一样，神经网络解决问题时，也需要首先使用训练数据（学习数据）进行权重参数的学习；进行推理时，使用刚才学习到的参数，对输入数据进行分类。

```python
# 代码暂略
import sys, os
print(sys.path.append(os.pardir))
```

> None